SAS for Monte Carlo Simulations (1): Introduction

一、为什么选择SAS做蒙特卡罗模拟？

为什么要用SAS做蒙卡？首先，对我来说，我只会用SAS，而且打算用SAS完成我所有的工作。当然，其他一些通用的理由有(Fan, etc.,2002)：

1. 蒙卡是个计算密集的活，而SAS Base、SAS Macro、SAS/IML强大而灵活的编程能力能满足这一要求；
2. 做蒙卡时要用到大量的统计/数学技术，而SAS就内置了大量的统计/数学函数(在 SAS/Stat和SAS/ETS)；用Fortran或C++当然也是非常好的主意，只是他们缺少内置的统计函数，代码就要冗长复杂很多。

二、什么是蒙卡？一个启发性例子

好，开始，什么是蒙卡？了解它背景知识的最好办法当然是wiki-Monte_Carlo_method。蒙特卡罗是位于摩洛哥的一家赌场，二战时，美国Los Alamos国家实验室把它作为核裂变计算机模拟的代码名称。作为模拟方法，蒙卡以前就叫统计抽样(statistical sampling)，我们感兴趣的结果因为输入变量的不确定而不可知，但如果能依概率产生输入变量的样本，我们就可以估计到结果变量的分布。跟蒙卡对应的，还有一种模拟技术叫系统模拟，包括排队、库存等模型，这些模型都跟随时间推移而出现的事件序列有关。下面举个蒙卡的例子，来自Evans, etc.( 2001)的超级简化版。

假设一家企业，利润是其需求量的函数，需求是随机变量。为了简化讨论，假定利润就是需求的两倍。这里输入变量就是不可控的需求，结果变量就是我们感兴趣的利润。假设需求以相同的概率取10、20、30、40、50、60这六种情况。在这样的简化下，我们就可以投一枚均匀的骰子来产生需求的样本，如果点数为1，对应得需求就是10，点数为2，需求就是20，以下类推。这样，我们的模拟过程就是：

1. 投骰子；
2. 根据骰子的点数确定需求量；
3. 根据需求量，求利润。

掷10次骰子，假设我们的模拟结果如下：

这样通过模拟需求的样本，我们对结果利润的分布也就有所知晓，比如平均利润可以算出就是63。蒙卡一个重要的步骤就是生成随机数，这里我们是用投骰子来完成。

三、又一个例子：利用蒙特卡罗模拟方法求圆周率∏(pi)

再举个很有名的例子，就是估计圆周率∏的值，来自Ross(2006)。这个试验的思路正好可以帮我们温习一下几何概型的概念。我们知道概率的古典概型，就是把求概率的问题转化为计数：样本空间由n个样本点组成，事件A由k个样本点组成，则事件A的概率就是k/n。考虑到概率和面积在测度上具有某种共性，几何概型的基本想法是把事件跟几何区域相对应，用面积来计算概率，其要点是：

1. 认为样本空间Ω是平面上的某个区域，其面积记为υ(Ω)；
2. 向区域Ω随机投掷一点，该点落入Ω内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关；
3. 设事件A是Ω的某个区域，面积为υ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域A的可能性称为事件A的概率，P(A)=υ(A)/υ(Ω)。

扯远了，回到用蒙卡估计圆周率∏的实验思路。假设样本空间是一个边长为2面积为4的正方形，我们感兴趣的事件是正方形内的一个半径为1面积为∏的圆，所以向正方形内随机投掷一点，落在圆里面的概率为∏/4。实验的思路如下：

1. 1）生成随机数——生成n个均匀落在正方形内的点；
2. 2）对落在正方形内的n个点，数一数正好落在圆里面的点的个数，假设为k（另外n-k个点就落在圆外面的正方形区域内）。
3. 3）k/n就可以大致认为是圆的面积与正方形的面积之比，另其等于∏/4，就可以求出圆周率∏的估计值。

又，Forcode提供了利用电子表格Excel求解以上问题的详细过程，有兴趣可以看看。另外，这里也有一个详细的说明，用Mathematica实现。

四、随机数很重要（以及下期预告）

在第一个例子中，我强调了骰子要是均匀的。那里骰子就是我们的随机数生成器，骰子的均匀程度就是我们随机数的“随机”成分。在上面的10次试验中，投出了3次点数“3”和3次点数“5”，然后点数“1”、“2”、“4”、“6”各出现一次——因为只是重复了10次，这样我们对骰子的均匀程度不好评估，但如果重复无数次——假如是十万次，如果还出现类似比例的结果，那么就有理由怀疑这粒骰子的均匀程度了。如果骰子灌了铅，比如投出点数“6”的可能性从六分之一上升到6分之三，那么根据这粒骰子来做模拟，我们就有高估需求以及利润的危险。

下次就讲讲随机数的生成原理，当然结合SAS来讲，或者也会提一下Excel。

五、其他软件包

在商业领域，基于Excel的插件比较兴盛，比如Crystal Ball应用就较为普遍，有试用版可以下载。其他竞争产品有@Risk、Risk Solver等。现在据说Risk Simulator也开始兴盛起来，大有后来居上之势。他的开发者Johnathan Mun还在Wiley Finance系列有一本书，Modeling Risk: Applying Monte Carlo Simulation, Real Options Analysis, Forecasting, and Optimization Techniques。

S语言（R或者S-Plus）由于其面对对象的特性，加之丰富的内置函数和诸多用户提供的库，使得R或者S-Plus也是蒙卡研究的得力工具——或者比SAS更有前景。这个我不熟，略之。

---------参考资料---------

1. Xitao Fan, etc..Monte Carlo Studies: A Guide for Quantitative Researchers. SAS Institute Inc.,2002
2. Sheldon M. Ross. Simulation(4th Ed).Elsevier Inc..2006
3. J.R.Evans等《模拟与风险分析》（洪锡熙译，上海：上海人民出版社，2001）