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《SAS和蒙特卡罗模拟（1）：开篇》——简介，通过例子建立起蒙卡的直观概念；参考软件包及书目

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SAS for Monte Carlo Simulations (2): Random Numbers

最简单、最基本、最重要的随机变量是在[0,1]上均匀分布的随机变量。一般地，我们把[0,1]上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数，其他分布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。以下谈的都是所谓“伪随机数”(Pseudo Random Numbers)。产生随机数，可以通过物理方法取得（很久很久以前，兰德公司就曾以随机脉冲源做信息源，利用电子旋转轮来产生随机数表），但当今最为普遍的乃是在计算机上利用数学方法产生随机数。这种随机数根据特定的迭代公式计算出来，初值确定后，序列就可以预测出来，所以不能算是真正的随机数（就成为“伪随机数”）。不过，在应用中，只要产生的伪随机数列能通过一系列统计检验，就可以把它们当成“真”随机数来用。

现在大多软件包内置的随机数产生程序，都是使用同余法(Congruential Random Numbers Generators)。“同余”是数论中的概念。

0.预备知识：同余

捡回小学一年级的东西："4/2=2"读作“4除以2等于2”，或者，“2除4等于2”。还有求模的符号mod(number,divisor)，其中，number是被除数（在上式中，为4），divisor是除数（上式中的2）。这样的约定对SAS和Excel都通用，如mod(4,13)=4，mod(13,4)=1。

现在我们可以开讲“同余”了。设m是正整数，用m去除整数a、b，得到的余数相同，则称“a与b关于模m同余”。上面的定义可以读写成，对整数a、b和正整数m，若mod(a,m)=mod(b,m)，则称“a与b关于模m有相同的余数（同余）”，记做a≡b(mod m)（这就是同余式）。举个例子，mod(13,4)=1，mod(1,4)=1，则读成13和1关于模4同余，记做13≡1(mod 4)。当然，同余具有对称性，上式还可以写成1=13(mod 4)。

a≡b(mod m)的一个充要条件是a=b+mt，t是整数，比如13=1+3*4。a=b+mt可以写成(a-b)/m=t，即m能整除(a-b)。

这些就够了。更多基础性的介绍，可以参考《同余（数据基础）》。

1.乘同余法

同余法是一大类方法的统称，包括加同余法、乘同余法等。因为这些方法中的迭代公式都可以写成上面我们见过的同余式形式，故统称同余法。常用的就是下面的乘同余法(Multiplicative Congruential Generator.)。符号不好敲，做些约定，如R(i)就是R加一个下标i。

乘同余法随机数生成器的同余形式如下：R(i+1)=a*R(i) (mod m)。这个迭代式可以写成更直观的形式，R(i+1)=mod[a*R(i),m]，其中初值R(0)称为随机数种子。因为mod(x,m)总是等于0到m-1的一个整数，所以最后把R(i+1)这个随机序列都除以m，就可以得到在[0,1]上均匀分布的随机数。下面用电子表格演示一遍，假设随机数种子R(0)=1，a=4，m=13：

上面显示的是公式（Excel中，公式与计算结果的转换，用快捷键ctrl+~实现），结果看起来是这样的，E列就是我们想要的在[0,1]上均匀分布的随机数：

上表中，a*R(1)=16，R(2)=3，m=13，一个同余式就是R(2)=a*R(1) (mod m)，3=16(mod 13)，或者说，16-3能够被13整除——同余法就是这意思了。说“乘同余法”，要点在于a*R(i)是乘法形式。在SAS系统中，a=397,204,094，m = 2^31-1=2147483647（一个素数），随机种子R(0)可以取1到m-1之间的任何整数。

2.伪随机数的检验

现在内置于各大软件包的随机数生成器都经过了彻底的检验，我们当然可以安心地使用这个黑箱。或则我们也可以多了解些。一个好的“伪”随机数列，应该看起来就跟从[0,1]上均匀分布的随机数列中随机抽取出来的一样。两个比较直观的检验有：

1. 均匀性检验——所有的数是否均匀地分布在[0,1]区间；
2. 独立性（或不相关）检验——序列中的数不存在序列相关，每个数都跟其前后出现的数独立无关。一个例子是如0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，这里每一个相继的数都正好比它前面的一个数大0.1，这样这个数列就似乎有了某种“格局”。

具体的检验方法就略之了，更多请参见徐钟济（1985）。

3.生成其他概率分布的随机数

前面提到过，我们把[0,1]上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数，其他分布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。对其他连续型分布，（累积）分布函数为F(x)，r是在[0,1]上均匀分布的随机变量，另r=F(x)，解出的x就是该连续型分布的随机抽样。由于x可以写成r的反函数，该变换就称作“逆变换”(Inverse Transformation method)。对离散型分布，思路类似，不过繁琐些，具体可以见徐钟济（1985）、Ross（2006）和Evans等（2001）。大多数相关软件包都会提供各种分布的随机数生成函数，知道有这回事就可以。最重要的，是我们陈述一类问题时，知道需要用哪种概率分布来描述Evans等（2001）：

常用的连续分布

1. 均匀分布(Uniform Distribution)描述在某最小值和最大值之间所有结果等可能的随机变量的特性。
2. 正态分布(Normal Distribution)是对称的，具有中位数等于均值的性质，就是我们熟悉的钟形形状。各种类型的误差常常是正态分布的。最后，作为中心极限定理的推论，大量具有任意分布的随机变量的平均数也呈正态分布。
3. 三角形分布(Triangular Distribution)由三个参数来定义，最大值、最小值和最可能值。临近最可能值的结果比那些位于端点的结果有更大的出现机会。
4. 指数分布(Exponential Distribution)常用来构建在时间上随机重现的事件的模型，如顾客到达服务系统的时间间隔、机器元件失效前的工作时间等。它的主要性质是“无记忆性”(Memoryless) ，即当前时间对未来结果没有影响。例如，不论机器原先已经运转了多长时间，它继续运转直至出现故障的时间间隔总有同样的分布。
5. 对数正态分布(Lognormal Distribution)：若随机变量x的自然对数是正态的，则x就服从对数正态分布。对数正态分布的常见例子是股票价格。

常用的离散分布

1. 贝努利分布(Bernoulli Distribution)描述的是只有两个以常数概率出现的可能结果的随机变量的特性；
2. 二项分布(Binomial Distribution)给出每次试验成功概率为p的n次独立重复贝努利实验的模型；
3. 泊松分布(Poisson Distribution)用于建立某种度量单位内发生次数的模型的一种离散分布，如某时段内某事件发生的次数。

其他有用的分布如伽玛分布(Gamma Distribution)、威布尔分布(Weibull Distribution)、贝塔分布(Beta Distribution)略之。

4.下期预告

上次落了些东西。说到蒙卡与C++，在数量金融领域，不能不提的一本书就是Mark Joshi的C++ Design Patterns and Derivatives Pricing (Cambridge Uni. Press, 2004)，面试中一定要说自己读过的，这样人家以为你至少会用C++做一个蒙特卡罗模拟。这个系列只讲SAS，下次先讲如何用SAS生成随机数，然后就是具体的项目。

---------参考资料---------

1. Xitao Fan, etc..Monte Carlo Studies: A Guide for Quantitative Researchers. SAS Institute Inc.,2002
2. Sheldon M. Ross. Simulation(4th Ed).Elsevier Inc..2006
3. J.R.Evans等《模拟与风险分析》，洪锡熙译，上海：上海人民出版社，2001
4. 徐钟济《蒙特卡罗方法》，上海：上海科学技术出版社，1985