********************示例数列为4、4、5、7、10********************

定义1. 各项累加之和除以项数，所得之数值，叫做平均数（6）。

定义2. 众数是出现次数最多的那一项的数值（4）。

定义3. 中位数是这样一个项的数值（或两项之平均数）：它（或该两项）的数值大于或等于其余一半项的数值，而小于或等于另外一半项的数值（5）。

注1：平均数受每个改变的牵动，中位数和众数却只受某些改变的牵动。由于这个原因，平均数常常被认为是“敏感的”，是“反映整个分布的”。

注2：当分布含有少数在一端远离的极端项时，平均数的敏感性，对它的代表性反而可能是不利的。

注3：中位数不受少数极端值的影响。

注4：众数显示最大频率，而最大频率是最普遍化的同义语。

一、平均数的两个性质

物理模型：设想一块实验板，其上有4至10的等距刻度。假定5个一磅重的砝码置于板上，砝码的位置为4、4、5、7、10。现在假设有一支点，令该实验板连同其上的砝码在支点上保持平衡，并设该实验板本身无重量。几经失败之后，我们设想找到了平衡点。

结果，支点在各项的平均数之下。任何项的集合的平均数都是那些项的平衡点，而且平均数是唯一的平衡点。

考虑支点左边每个砝码与支点（平均数）的距离。最左端的两个砝码与平均数相距2个单位，第三个相距1个单位，总和是5个单位。同样，支点右边的砝码与支点的距离也是5个单位。正是这个等量平衡了实验板。左右两边砝码与平均数的距离之和总是相同的，也即平均数两边的距离“相抵”。

为了得到上面的距离，从各项减去平均数。有负号的是平均数左边砝码得到的结果，有正号的是右边砝码得到的结果。前面提到，把负号抹去，左边各项的和等于右边各项的和（距离“相抵”）。留住负号，则所有项的和等于0 ,Σ[x-mean(x)]=0，即，与平均数之差的和恒等于0。总结一下：

定理1：在任何分布中，各项对平均数的差之和等于0。反之，若分布中各项对某数的差数之和等于0时，该数即为此分布的平均数。

又考虑对平均数的差数平方：

若选其他数如5做参考点，则

如果我们选了平均数以外的其他参考点，则与该参考点的差数平方之和必将大于26。我们把平均数的这个最小二乘性质总结如下：

定理2：任何分布，各项与平均数的差数平方之和，小于与任何其他点的差数平方之和。反之，哪个点极小化差数的平方和，哪个点就是平均数。

二、项的改变对平均数的影响

假设以上5个项是五个孩子的年龄，其平均年龄为6岁。问：“9年之后，这五个孩子的平均年龄是多少？”答案很显然，但如何解释，每个孩子大9岁后，他们年龄的平均数也应该增大9岁。

想像以前那个物理模型，考虑每个孩子长大9岁后的情况，我们把所有的砝码右移9个单位。这时砝码已经处于新的位置，新的平衡点就是新的平均数。可以想到，平均数也已随着刻度向右推移了恰好9个单位。刻度增加了，但刻度的相对位置仍然是相同的，新的平均数同这些刻度的相互位置也和原先的一样。从每个刻度上减去一个常数，砝码就会左移，平均数就会减少同样的数。概括一下：

定理3：若分布的各项都增加一个常数，平均数也增加同一常数，若各项都减少一个常数，则平均数也减少同一常数。

又问，当分布的各项乘以常数时，平均数会是怎样？如果各项乘以2，则各项之和就增加了一倍，这样新的平均数就是先前平均数的两倍，可以概括如下：

定理4：如一组数的各项乘以一常数，平均数也应乘以该常数。若各项除以一常数，则平均数也应除以该常数。

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参考资料是美国G.H.维恩堡等著的《数理统计初级教程》（常学将等译，太原：山西人民出版社，1986），非常好的一本统计入门书，通篇是直觉例子。这些日子感到要用白话传达统计学概念的必要，故纸堆里搜出这本书。